INFINITUDE DOS NÚMEROS PRIMOS

Euclides (livro IX - proposição 20) afirma que para uma coleção finita de números primos p1, p2, p3, ...,pn, existe sempre um outro número primo que não é membro da coleção.

Para ver o porquê disto, Euclides sugere considerar um número P, que deve ser igual ao produto de todos os números primos da coleção, acrescido de uma unidade, isto é,

P = 1 + p1 . p2 . p3 . ... . pn

Sendo assim, como P  é maior que 1, isto significa que P tem pelo menos um divisor primo (Teorema Fundamental da Aritmética), que não pode ser igual a p1, p2, p3, ...,pn, pois a divisão de P por quaisquer um desses primos vai sempre apresentar 1 como resto.

 Dessa forma, P tem que ser divisível por um número primo diferente daqueles considerados inicialmente, o qual será o próprio P.

E isto, significa que a coleção dos números primos não pode ser finita.  

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