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DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO |
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"Quando o matemático constrói um
sistema de números ou uma geometria, sem se perguntar antes o que é número ou
vizinhança espacial (livre para refletir sobre isto posteriormente, numa teoria
dos “fundamentos”), ele tem o direito de assim proceder, porque se fundamenta
num corpo de verdades prévias (mesmo que ele as diferencie a seu modo), que são
as próprias verdades lógicas. Mas quem pretende analisar estas últimas
sistematicamente é obrigado a se apoiar em alguma coisa, mesmo que seja sobre a
evidência do pensamento refletido." (Piaget, 1976) |
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Embora não se conheça exatamente quando o elemento dedutivo foi introduzido na matemática, alguns historiadores sustentam os argumentos de Zenão de Elea como uma possível inspiração para a necessidade de um método racional que substituísse as receitas matemáticas. |
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Seja como for, o fato é que para a matemática valem como regras fundamentais do pensamento os seguintes princípios: |
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I- PRINCÍPIO DA IDENTIDADE: toda coisa é igual a si mesma; |
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II- PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo; |
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III- PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro. |
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Assim, no que diz respeito à argumentação envolvida no processo de uma demonstração por redução ao absurdo, temos: |
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Para estabelecer a veracidade de uma proposição p, devemos assumir não p e, por um processo de dedução, estabelecemos que, para alguma proposição q, não p implica em q e não q. |
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Todavia, como qualquer que seja q, q e não q é falsa, isso significa que não(q e não q) é verdadeira. |
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Em outros termos, não(não p) é verdadeira, ou seja, p é verdadeira. |
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