Projeto ZK: Informática educativa

Micromundo hipertextual: Números primos

 

INSUFICIÊNCIA DOS NÚMEROS INTEIROS

Segundo historiadores, Aristóteles refere-se a uma demonstração de que a diagonal e o lado de um quadrado são incomensuráveis, que tem por base a distinção entre números pares e números ímpares.

Especificamente, trata-se de uma demonstração por redução ao absurdo, a qual supõe que se D e L  são as medidas da diagonal e do lado do quadrado, então D/L é um número racional. Ou seja, D/L= P/Q, onde P e Q são números inteiros e não possuem fator comum, isto é, P e Q são números primos entre si. Vejamos isso.

Tomando a figura acima, podemos afirmar pelo teorema de pitágoras que:

D² = L² + L²  = 2.L².

Como D/L = P/Q com P e Q números primos entre si, então (D/L)² = (P/Q)².

Logo, P² = 2.Q².

Portanto, P é um número par e pode ser escrito na forma P = 2.R e Q deve ser um número ímpar.

Todavia, tendo em vista que substituindo 2.R em P² = 2.Q² vem que Q também deve ser um número par (4.R² = 2.Q² ou Q²  = 2.R²), isto significa - considerando que um número inteiro não pode ser, ao mesmo tempo, par e ímpar - que a hipótese inicial (P e Q são primos entre si) deve ser nula.    

 

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